$\overline{AB}$ = ?

বুলিয়ান অ্যালজেব্রা এবং ডিজিটাল লজিকে, প্রদত্ত রাশিটি হলো $\overline{AB}$। এখানে 'AB' দ্বারা 'A' এবং 'B' চলকদ্বয়ের লজিক্যাল গুণ (AND অপারেশন) বোঝানো হয়েছে এবং তার উপরে থাকা বার (top bar) দ্বারা সেই গুণফলের পরিপূরক (NOT অপারেশন) বোঝানো হয়েছে। সহজভাবে বলতে গেলে, এটি একটি NAND গেটের আউটপুট।

ডিজিটাল লজিকে ডিমর্গানের উপপাদ্য (De Morgan's Theorem) অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। ডিমর্গানের প্রথম উপপাদ্য অনুযায়ী, দুইটি চলকের লজিক্যাল গুণফলের পরিপূরক তাদের পৃথক পৃথক পরিপূরকসমূহের লজিক্যাল যোগফলের (OR অপারেশন) সমান।

গাণিতিকভাবে, ডিমর্গানের প্রথম উপপাদ্যটি হলো:

অথবা, প্রশ্নে প্রদত্ত প্রতীকের সাথে সামঞ্জস্য রেখে:

এখানে,

    
• $\overline{AB}$ বা \( \overline{A \cdot B} \) মানে A এবং B এর AND অপারেশনের NOT (NAND অপারেশন)।
    
• $\overline{A}$ বা \( \bar{A} \) মানে A এর পরিপূরক (NOT A)।
    
• $\overline{B}$ বা \( \bar{B} \) মানে B এর পরিপূরক (NOT B)।
    
• '+' চিহ্নটি লজিক্যাল যোগ (OR অপারেশন) নির্দেশ করে।

এখন, বিকল্পগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:

    
• ১. $\overline{A+B}$ : এটি A এবং B এর লজিক্যাল যোগফলের (OR) পরিপূরক, যা NOR অপারেশন। ডিমর্গানের দ্বিতীয় উপপাদ্য অনুযায়ী, \( \overline{A+B} = \bar{A} \cdot \bar{B} \)। এটি $\overline{AB}$ এর সমতুল্য নয়।
    
• ২. $\overline{A}+\overline{B}$ : এটি $\overline{A}$ এবং $\overline{B}$ এর লজিক্যাল যোগফল। ডিমর্গানের প্রথম উপপাদ্য অনুযায়ী, এটি $\overline{AB}$ এর সঠিক সমতুল্য।
    
• ৩. $\overline{A} \overline{B}$ : এটি $\overline{A}$ এবং $\overline{B}$ এর লজিক্যাল গুণফল। এটি \( \overline{A+B} \) এর সমতুল্য (ডিমর্গানের দ্বিতীয় উপপাদ্য)। এটি $\overline{AB}$ এর সমতুল্য নয়।
    
• ৪. AB : এটি শুধুমাত্র A এবং B এর লজিক্যাল গুণফল (AND অপারেশন)। এটি $\overline{AB}$ এর সরাসরি বিপরীত।

সুতরাং, ডিমর্গানের প্রথম উপপাদ্য অনুযায়ী, $\overline{AB}$ এর সমতুল্য রাশিটি হলো $\overline{A}+\overline{B}$।